sábado, 17 de septiembre de 2011

Números narcisistas

El fin de semana estuve ordenando algo de papelerio, en un desesperado intento de hacer un poco de lugar en la biblioteca. Agarré un par de carpetas llenas de papeles de todo tipo y me propuse reducir su volumen. Como me suele ocurrir, este tipo de empresas termina con una extensa revisión del material archivado y con el descarte del equivalente a una estampilla u hoja de agenda. Esta vez no fue la excepción, y el resultado fue ese. Lo único que tiré fue un pequeño recorte de un diario que hablaba sobre los números narcisistas. Al estar allí olvidado, ese recorte no servía de nada, así que decidí escribir una breve entrada sobre este tema y así concluir mi magna tarea de limpieza. La sorpresa fue que me topé con una gran cantidad de información que superó mis expectativas iniciales. Así que voy a tratar de ser sintético y resumir en pocas líneas algunas curiosidades numéricas que se encuadran dentro de los números denominados narcisistas.

Según la mitología griega, Narciso era un joven tan bello (y orgulloso) que se enamoró de su propia imagen reflejada en una fuente y se ahogó en ella. Los número narcisistas son aquellos que pueden obtenerse mediante la manipulación matemática de los dígitos que lo componen. Sí, reconozco que es difícil de ver la analogía entre Narciso y estos números, pero quizás se deba a que éstos se ven reflejados a un lado y al otro de la igualdad. A ver, para ser más claros, un ejemplo de número narcisista es el 1676 o el 2646798:

1676 = 11 + 62 + 73 + 64

2646798 = 21 + 62 + 43 + 64 + 75 + 96 + 87

A ambos lados de la primera igualdad se encuentran los mismos dígitos: 1, 6, 7, 6; y el 1676 se obtiene a través de una combinación de sumas y potencias en orden creciente. Lo mismo ocurre en el segundo caso, pero con siete dígitos. Otro ejemplo de números narcisistas son los números de n dígitos que se obtienen de la suma de las potencias de orden n de sus dígitos. Un ejemplo de estos números es 153 = 13 + 53 + 33. Una variación respecto a estos son los números narcisistas de base constante, es decir aquellos donde el número se obtiene como una suma de potencias de una base n elevada a las potencias dadas por los dígitos en cuestión:
4624 = 44 + 46 + 42 + 44



Más sorprendentes, o dificiles de hallar, son los denominados "perfectos", donde el número se obtiene mediante la sumatoria de los dígitos elevados a su misma potencia. Para ser más claros: 3435 = 33 + 44 + 33 + 55. De éstos parece haber muy pocos, apenas cuatro en base diez [ver aquí]

También hay números narcisistas que se consiguen manipulando un poco las cifras. Por ejemplo, sabemos que 73 = 343, pero si tenemos en cuenta que 7 = 3 + 4, podemos decir que 343 = (3 + 4)3.

Un concepto matemático que engloba a los números narcisistas es el de los denominados números de Friedman. Un número de Friedman es un entero positivo que puede ser escrito de manera no trivial empleando sus propios dígitos y las operaciones matemáticas + - x / ^, además de los paréntesis y la concatenación. Los dígitos pueden aparecer en cualquier orden, siempre y cuando sean solo aquellos que forman parte del número en cuestión. Por ejemplo, 121 = 112 y 1206 = 6 * 201. Sin embargo, los más interesantes son aquellos donde el orden coincide y, en algunos casos, hasta puede parecer un error de tipeo, como 25 * 92=2592 o 312325 = 312 * 325. Sobre estos números, nada mejor que la misma página de Erich Friedman, donde están compilados hasta cifras de 6 dígitos.

Finalmente, también existen coincidencias numéricas que, si bien no entran en la clasificación de narcisistas, bien podrían hacerlo por su armoniosa simetría a ambos lados de la igualdad:
sen(666º)=cos(6*6*6º)

145 = 1!+4!+5!

5882+23532 =5882353

... y un largo etcétera. Para cerrar esta entrada, una curiosidad algo narcisista que encontré en The Futility Closet:


Para aquellos que gusten de los juegos con números, les recomiendo las siguientes páginas. Les aseguro que pueden pasarse días encontrando curiosidades y propiedades matemáticas. Me despido hasta la próxima.

http://primes.utm.edu/curios/index.php

http://www2.stetson.edu/~efriedma/mathmagic/0800.html

http://www2.stetson.edu/~efriedma/mathmagic/

http://oeis.org/Seis.html

http://www.futilitycloset.com

http://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_coincidence

http://gaussianos.com/

http://www.pepemolina.com/generador/

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