miércoles, 17 de septiembre de 2014

Algunas reflexiones sobre el anumerismo

Hace unas semanas mi colega Emiliano Penovi me pasó un libro que desconocía: El hombre anumérico, de John Allen Paulos. No es un libro nuevo, data de fines de la década del ochenta, pero el tema que trata sigue tan vigente hoy como en aquel entonces. Básicamente la idea que articula el libro es la del anumerismo (innumerancy, en inglés), que trata de ser el equivalente matemático de la persona iletrada, una palabra que denota la falta de criterio y rigor matemático en la sociedad actual. Cuando hablo de criterio y rigor no me refiero a complejas y tediosas demostraciones matemáticas, sino al manejo de cantidades y probabilidades que están relacionadas con acontecimientos casi cotidianos. Al mejor estilo de Adrián Paenza, para quien fue un inspirador, Paulos revisa varios tópicos y situaciones comunes, planteando la falacias que se esconden detrás determinadas estadísticas, empleando simples multiplicaciones y razonamientos lógicos. Así, por ejemplo, se pregunta que si en un juego de lotería al estilo del Loto la probabilidad de acertar los 6 números en un universo de 40 es de 1 en 3.838.380, ¿cómo es que la mayoría de la gente prefiere un billete de lotería con la combinación 213172 o 293684 a otro con la combinación 123456? A continuación voy a reproducir algunos ejemplos que me llamaron la atención, que resumen a la perfección el contenido del libro.

Sobre las coincidencias
A veces se suele interpretar a las coincidencias de forma misteriosa o buscando algún significado oculto. Por ejemplo, encontrar a una persona que cumple años el mismo día que nosotros. Sin embargo esto no tienen nada de raro, sino que es más bien común. Como el año tiene 366 días, considerando un año bisiesto, habría que reunir a 367 personas para estar seguros de que por lo menos dos personas del grupo han nacido el mismo día. Pero, si nos conformamos con tener una certeza del 50%, lo primero que se nos ocurre es que se necesitan 366/2=183 personas. Sin embargo la respuesta es que sólo hacen falta veintitrés. En otras palabras, exactamente la mitad de las veces que se reunen veintitrés personas elegidas al azar, dos o más de ellas han nacido el mismo día.

La identidad de Euler escrita con dados, una bella composición entre matemáticas y azar [Fuente]

El caso de Julio César
El ejemplo que más me llamó la atención sobre el cálculo de probabilidades, por lo inesperado del resultado, es el de Julio César. Trascribo literalmente la cita:

Supongamos que el relato de Shakespeare es exacto y que César dijo «Tú también, Bruto» antes de expirar. ¿Cuál es la probabilidad de que hayas inhalado por lo menos una de las moléculas que exhaló César en su último suspiro? La respuesta es sorprendentemente alta: más del 99%.
Por si no me crees, he supuesto que al cabo de más de dos mil años esas moléculas se han repartido uniformemente por el mundo y que la mayoría aún están libres en la atmósfera. Una vez aceptadas estas hipótesis tan razonables, el cálculo de la probabilidad que nos interesa es inmediato. Si hay N moléculas de aire en la atmósfera, de las cuales A fueron exhaladas por César, la probabilidad de que hayas inhalado una de estas últimas molécula es A/N. Por el contrario, la probabilidad de que cualquier molécula que hayas inhalado no proceda de César es 1 - A/N. Por la regla del producto, si inhalas tres moléculas, la probabilidad de que ninguna de ellas venga de César es (1 - A/N)^3. Análogamente, si inhalas B moléculas, la probabilidad de que ninguna proceda de César es aproximadamente (1 - A/N)^B. Por tanto, la probabilidad del caso complementario, que hayas inhalado al menos una de las moléculas que se exhaló, es 1 - (1 - A/N)^B. A y B valen 1/30 de litro, o sea 2,2 × 10^22 moléculas; y N vale aproximadamente 10^44 moléculas.
Son valores que hacen que esta probabilidad sea mayor que 0,99. Es fascinante que a la larga hayamos de ser los unos parte de los otros, al menos en el sentido mínimo de este ejemplo.


Sobre la pseudociencia
Sobre este tema Paulos se despacha, demostrando como los charlatanes utilizan muestras sesgadas y cálculos probabilisticos manipulados para avalar sus teorías. En un pasaje dedica unas líneas al famoso Teorema del Mono Infinito, el cual afirma que un mono pulsando teclas al azar sobre un teclado durante un periodo de tiempo infinito casi seguramente podrá escribir cualquier obra de Shakespeare. En el caso particular de Hamlet:

La probabilidad de que esto ocurriera sería de (1/35)^N, donde N es el número de símbolos del Hamlet, unos 200.000 más o menos, y 35 es el número de teclas de una máquina de escribir, entre letras, signos de puntuación y espacios en blanco. A efectos prácticos, el valor es infinitesimal-cero. Aunque algunos han tomado el valor pequeñísimo de esta probabilidad como un argumento en favor del creacionismo, lo único que demuestra claramente es que los monos rara vez son capaces de escribir grandes obras literarias. Y si quieren hacerlo, les sale más a cuenta evolucionar hasta un estadio en el que tengan más probabilidades de escribir Hamlet que intentar que les salga por casualidad.

(Nota al margen: el relato de Borges, La biblioteca de Babel, plantea un caso análogo al del mono, pero en la forma de una biblioteca infinita donde se hallan todos los libros posibles generados de la permutación de 25 signos en 410 páginas. Entre todos los volúmenes tiene que estar el definitivo, el que contenga la verdad sobre el universo. Imposible no maravillarse).

"Entonces sucede un milagro" dice en el pizarrón, mientras el profesor opina "Creo que debería ser más explicito aquí en el paso dos".


Paulos, en cierta manera, se presenta como un escéptico, pero según sus propias palabras, no pretende propugnar ningún tipo de cientificismo rígido y dogmático, ni ningún tipo de ateísmo ingenuo. Para ilustrar esta idea, toma un verso de Howard Nemerov, que dice que hay un largo trecho de «Adonai» (uno de los nombres de Dios, en hebreo) a «Yo no sé» y a «Yo niego», y mucho lugar en medio para que las personas razonables puedan sentirse a gusto (es un juego de palabras que se entiende mejor en inglés: "There’s a long way from Adonai to I Don’t Know to I Deny and plenty of room in the middle for reasonable people to feel comfortable").


Sobre la educación
Una parte del libro está dedicada a las razones de tanto anumerismo y el porque de que tanta gente le tenga fobia a lo matemático. La mayor parte del problema recae en el sistema educativo, que de alguna manera espanta a los estudiantes y siembra la semilla de ese rechazo. Sin embargo, también hay una parte que le corresponde al estudiante, y acá estoy completamente de acuerdo con Paulos, por mi propia experiencia en el ámbito docente universitario (el resaltado es mio):

Otro fenómeno, distinto de la angustia matemática y mucho más difícil de tratar, es el letargo intelectual extremado que afecta a un número pequeño, aunque cada vez mayor, de estudiantes, que parecen tan faltos de disciplina mental o de motivación que no les entra nada. Los caracteres obsesivo-compulsivos son susceptibles de desentumecerse y las personas que padecen de angustia matemática pueden aprender modos de aquietar sus miedos, pero ¿qué se puede hacer con los estudiantes que no se esfuerzan en concentrar ni una pizca de sus energías en cuestiones intelectuales? A veces les reconvienes: «La respuesta no es X sino Y. Te has olvidado de tener en cuenta esto o aquello». Y la única respuesta es una mirada vaga o un «Ah, sí» sin ningún interés. Sus problemas son de un orden más serio que la angustia matemática.

Números irracionales [Fuente]


El dilema de Wolf o del preso
El dilema del preso es un problema fundamental de la teoría de juegos que muestra que dos personas pueden no cooperar aún si eso perjudica a los dos. La situación es la siguiente: hay dos hombres, sospechosos de haber cometido un delito importante, que son detenidos en el momento de cometer una falta menor. Les interrogan por separado, y se le da a cada uno la posibilidad de confesar el delito mayor implicando a su socio, o permanecer callado. Si ambos permanecen callados, sólo les caerá un año de prisión. Pero si uno confiesa y el otro no, el primero saldrá libre, mientras que al segundo le caerá una condena de cinco años. Si confiesan los dos, pueden esperar que les caigan tres años de cárcel a cada uno. La opción cooperativa es permanecer callado y la individualista, confesar.

El dilema es que la mejor opción para ambos como colectivo, o sea permanecer callados y pasar un año en la cárcel, deja a cada uno a merced de la peor de las posibilidades, a quedar como un tonto y a pasar cinco años en la cárcel. En consecuencia, lo más probable es que ambos confiesen y les caiga una condena de tres años de cárcel. Lo interesante de este dilema es que nos da un esquema de muchas situaciones a las que nos enfrentamos en la vida cotidiana. No siempre hay una respuesta buena, pero las partes implicadas saldrán ganando siempre como colectivo si cada una resiste la tentación de traicionar a la otra y coopera con ella o le permanece leal. Si cada parte persigue exclusivamente su propio beneficio, el resultado es peor que si ambas cooperan. En tales ocasiones, la mano invisible de Adam Smith, como garante de que la búsqueda del provecho individual produce el bienestar de la sociedad en su conjunto, está totalmente paralizada.


Errores estadísticos simples
No voy a reproducir todos los ejemplos del libro, pero creo que uno sirve como resumen del resto. Se trata del tema de los porcentajes, un tema casi elemental que constantemente se aplica mal. A pesar de que muchos opinen lo contrario, el precio de un artículo que ha sufrido un aumento del 50% y luego un recorte del 50%, ha experimentado una reducción neta del 25%. Un vestido cuyo precio se haya rebajado en un 40% y luego en otro 40%, habrá sido rebajado en total en un 64, no en un 80%.

Un buen ejemplo del mal uso de la estadística y la matemática. En el gráfico se observa la correlación entre las importaciones de petróleo crudo proveniente de Noruega y los conductores muertos en colisiones con trenes. Si bien el índice de correlación de de 0,954 (muy alto), esto no indica causalidad.


Reflexiones finales
Vivimos en una época donde, como nunca en la historia, tenemos acceso a un volumen de información y estadística que es descomunal. Sin embargo, misma tecnología que ha hecho posible, en parte, este logro, es la que ha aletargado y/o desmotivado a una gran porcentaje de la población, haciéndola indiferente a cosas maravillosas, como la matemática. Este anumerismo que postula Paulos termina redundando en el uso/abuso/mal uso de la estadística, y de ahí a escuchar las animaladas que se escuchan en los noticieros o en las tribunas partidarias hay un paso muy cortito. En fin, no es un panorama alentador, pero lo único que se puede hacer es pensar en que se puede revertir, y tratar de aportar algo, por poco que sea, de nuestra parte. Nos vemos en la próxima entrada.

2 comentarios:

  1. En la medida que -modestamente- penetramos en ellas, las matemáticas parecen dar respuestas no solo cuantitativas sino también cualitativas. Todas las ciencias resumen en la filosofía y hasta la matemática quiebra en contemplaciones, enroscando los números, demostrando la pasión como una serie de pasos lógicos.
    Buen aporte (y)

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    1. Gracias hermano ;) Si bien la matemática representa la exactitud, lo indiscutible, el 2+2=4, siempre se pueden retorcer los supuestos y las operaciones para justificar lo injustificable. Abrazo

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