sábado, 26 de noviembre de 2016

El origen de algunas notaciones matemáticas

La recta final del año viene más cargada de trabajo de lo que había previsto, y el blog ha sido uno de los que ha pagado las consecuencias de esto. Una vez más, tengo que dejar a un lado varios artículos en diferentes grados de desarrollo para poder atender los compromisos cotidianos. Pero como dichos compromisos pertenecen a un ámbito en el todo está relacionado con las matemáticas, voy a aprovechar esto como excusa para contarles, o mejor dicho, para reproducir lo que otros han contado, sobre el origen de algunos de los tantos símbolos que se usan en el álgebra y el análisis matemático.

Página manuscrita de los apuntos de Leibniz en donde se ven algunos desarrollos en serie de la raíz cuadrada de 2. Fuente: Alquimia y Ciencias.



Sumando y restando
Antiguamente, las operaciones de suma y resta eran simbolizadas con la letra p, abreviatura de "plus" ("más", en latín) y la m, abreviatura de "minus" ("menos", en latín). En su libro "El club de la hipotenusa", el matemático catalán Claudi Alsina cuenta brevemente que el origen de los símbolos de la suma y la resta es medieval y que posiblemente surgiera, en el caso del "-", como marca de defecto, para marcar cotas donde faltaba líquido, y que luego el "+" surgiera como anulación de defecto, tachando el "-". Si bien existen algunas referencias que apuntan a algún uso del símbolo "+" en el siglo XIV, hay que remontarse hasta el año 1489 para encontrar al "+" y el "-" empleados claramente como símbolos de suma y resta (no como indicadores de positivo o negativo). Aparecen impresos en el "Mercantile Arithmetic" o "Behende und hüpsche Rechenung auff allen Kauffmanschafft", del matemático alemán Johannes Widmann (1460-1498), publicado en Leipzig en 1489.
Una de las páginas del "Behende und hüpsche Rechenung auff allen Kauffmanschafft", del matemático alemán Johannes Widmann, donde aparecen por primera vez los símbolos "+" y "-". Esta imagen en particular corresponde a una edición de Augsburgo de 1526. Fuente: Earliest Uses of Various Mathematical Symbols.

Mucho antes de entrar en la Edad Media, antes incluso de que el Imperio Romano se levantase, los antiguos egipcios habían encontrado sus propios símbolos para la suma y la resta. En la figura se ver un extracto del problema Nº28 del Papiro de Ahmes (también conocido como Papiro matemático Rhind) en el que aparece el signo de la suma como dos piernas caminando hacia delante, y el signo de la resta como dos piernas caminando hacia atrás. Fuente: Cuaderno de cultura científica.



Esto es igual a aquello
Los autores Raúl Ibáñez y Claudi Alsina coinciden en que el signo "=" para designar igualdades matemáticas fue introducido por el matemático galés Robert Recorde (1510-1558) en su libro de álgebra "The Whetstone of Witte" (1557). Hoy en día diríamos que Recorde tenía un CV muy abultado, ya que trabajó en numerosas áreas. Entre otras cosas, fue quien introdujo la primera moneda inglesa con los números escritos en numerales árabes en lugar de romanos. Hasta ese momento el símbolo matemático empleado para las igualdades fue "||" en ciertos casos, pero mayoritariamente se usó la abreviatura "ae" de la denominación latina aequalis ("igual"). También en otros idiomas las primeras letras de la palabra "igual" eran el símbolo local utilizado. Recorde introduce el símbolo "=" con los segmentos paralelos horizontales e idénticos, mucho más largos que los actuales. La justificación para su elección fue:
"I will settle as I doe often in woorke use, a paire of paralleles, or genowe lines of one lengthe bicause noe. 2. thynges,can be moare equalle."

En criollo, Recorde elige un par de segmentos iguales y paralelos porque cree que ningún otro par de cosas pueden ser más iguales. A pesar de esto, el signo "=" tardaría bastante tiempo en ser adoptado. Se empezó a utilizar en Inglaterra a partir del año 1631, cuando se publicaron tres obras muy influyentes que lo contenían, "Artis Analyticae Praxis" de Thomas Harriot (1560-1621), "Clavis Mathematicae" de William Oughtred, y "Trigonometrie, or the Doctrine of Triangles" de Richard Norwood (1590-1675).

Una de las páginas de “The Whetstone of Witte” (1557), de Robert Recorde, en el que aparece por primera vez el signo "=" para denotar igualdad. Nótese que el símbolo está compuesto por dos líneas paralelas bastante largas, a diferencia del "=" moderno. Fuente: Cuaderno de cultura científica.


Raíces (y no de plantas)
En plena Edad Media la raíz cuadrada (y todas las de mayor grado) se símbolizaba mediante las letras "Rx", abreviatura de "radix" (palabra usada por los matemáticos árabes para denotar la extracción de la raíz de un número), o mediante la letra "l", abreviatura del latín "latus", que significa "lado" (aquí se relacionaba la raíz con el lado de un cuadrado). En 1525 el matemático Christoff Rudolff esbozó lo que sería el símbolo que usamos en la actualidad, una especie de "V" con una prolongación que hace de paraguas numérico del radicando. Claro, en ese momento no tenía esa forma, sino que simplemente se trató de una escritura acelerada de la letra "r" inicial de radical.

Antiguos símbolos para la raíz cuadrada (izquierda arriba) y la raíz cúbica (izquierda abajo), y los símbolos actuales derivados de la "r" del matemático Christoff Rudolff (derecha).


¿Cómo se escribe una derivada? ¿y una integral?
Sin lugar a dudas me arriesgo a asegurar que no existiría la ingeniería, ni la física, ni nada de los desarrollos tecnológicos de los últimos 300 años si no fuese por las derivadas e integrales. Son la pieza fundamental para representar y calcular la evolución temporal de variables que tienen dinámica, como la mayoría que están involucradas en cualquier modelo matemático. Sin embargo, a lo largo de la carrera aprendí a simbolizar estas operaciones de diferente manera. ¿Cuál es la correcta? ¿hay una correcta? Pues la verdad es que todas lo son. Las derivadas tienen cinco notaciones distintas, que llevan los nombres de grandes matemáticos, mientras que las integrales se pueden representar de dos formas. En la siguiente tabla resumo un poco esta situación.


Mi notación favorita es la de Leibniz, por lejos, y en segundo lugar me quedo con la de Newton, que es muy usada en el ámbito ingenieril. Pueden profundizar más sobre estas notaciones en la Wikipedia o en el blog  Fuga de cerebros.


Quod erat demonstrandum (QED)
Podría seguir entendiéndome, y mucho, pero no es mi objetivo reproducir sin ton ni son lo que otros han desarrollado con rigurosidad. Como tantas otras veces vuelvo a insistir que este blog no solo es historia, ciencia y Patagonia. También se trata de recuerdos, curiosidades y simples caprichos. Por ello es que le pongo punto final a esta nota y los dejo para que sigan incursionando en el apasionante mundo de las matemáticas. Hasta siempre.


P.S.: Las fuentes de los gráficos de las raíces las extraje de los siguientes sitios:

http://www.archimedes-lab.org/images5/squareroot.gif
https://image.freepik.com/iconos-gratis/raiz-cuadrada-de-la-formula-matematica-x_318-48777.jpg
https://www.decodedscience.org/wp-content/uploads/2012/02/cube-root.png
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Square-root_Radix.svg
 

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